Pochodne funkcji w pigułce: najważniejsze wzory i przykłady obliczeń

Zanim sięgniesz po wzór na pochodną funkcji, ustal, gdzie siedzi zmienna: w podstawie, w wykładniku czy w obu naraz. Od tego zależy, czy liczysz pochodną potęgi, pochodną wykładniczej, czy logarytmujesz obie strony. Sprawdź też, czy wyrażenie da się rozbić na sumę potęg, bo wtedy pochodna ilorazu jest zbędna. Na koniec przemyśl, czy w interesującym cię punkcie pochodna w ogóle istnieje: pierwiastek i moduł w zerze potrafią zepsuć wynik, który rachunkowo wygląda poprawnie.

Pochodna wzory: podstawowy zestaw, który wystarcza na większość zadań

Pochodna w punkcie to granica ilorazu różnicowego, czyli f′(x) = lim (f(x+h) − f(x))/h przy h dążącym do zera. W zadaniach liczy się ją z definicji rzadko. Zamiast tego korzysta się z kilkunastu gotowych wyników dla funkcji elementarnych i z pięciu reguł, które je łączą. Te dwie warstwy trzeba mieć w głowie osobno, bo pomyłki zwykle wynikają z ich pomieszania: dobry wzór wstawiony w złą regułę albo odwrotnie.

Warstwa pierwsza to funkcje elementarne:

• (c)′ = 0 dla dowolnej stałej c,
• (x^a)′ = a·x^(a−1), co daje m.in. (1/x)′ = −1/x² oraz (√x)′ = 1/(2√x),
• (a^x)′ = a^x·ln a, a dla podstawy e po prostu (e^x)′ = e^x,
• (ln x)′ = 1/x dla x > 0 oraz (log_a x)′ = 1/(x·ln a),
• (sin x)′ = cos x oraz (cos x)′ = −sin x,
• (tg x)′ = 1/cos²x oraz (ctg x)′ = −1/sin²x,
• (arcsin x)′ = 1/√(1−x²) dla |x| < 1 oraz (arctg x)′ = 1/(1+x²).

Warstwa druga to reguły. Suma i stała wychodzą przed pochodną bez niespodzianek: (f + g)′ = f′ + g′ oraz (c·f)′ = c·f′. Iloczyn: (f·g)′ = f′·g + f·g′. Iloraz: (f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g², pod warunkiem że g ≠ 0. Funkcja złożona: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x), czyli pochodna zewnętrzna policzona w wyrażeniu wewnętrznym, razy pochodna wewnętrzna.

Jak upraszczać wyrażenie, zanim sięgniesz po wzór na iloraz lub iloczyn?

Reguły iloczynu i ilorazu działają zawsze, gdy ich założenia są spełnione, ale rzadko są najkrótszą drogą. Każde zastosowanie ilorazu to kilka składników w liczniku, kwadrat w mianowniku i zwykle jeszcze skracanie na końcu, a to ostatnie jest miejscem, gdzie rachunek najczęściej się rozjeżdża. Dlatego zanim zaczniesz różniczkować, oceń kształt wyrażenia. Kilka sygnałów jednoznacznie wskazuje, którą drogę wybrać.

Mianownik jest jednomianem albo pierwiastkiem z jednomianu

To najczystszy przypadek, w którym iloraz odpada. Weź (x³ + 2x)/x². Po rozbiciu dostajesz x + 2/x, czyli x + 2x^(−1), a pochodna to 1 − 2/x². Ten sam wynik z reguły ilorazu wymaga rozpisania ((3x² + 2)·x² − (x³ + 2x)·2x)/x⁴, wymnożenia, redukcji wyrazów podobnych i skrócenia przez x². Dochodzi się do tego samego, ale po drodze jest cztery razy więcej miejsc na pomyłkę.

Taka sama logika dotyczy pierwiastków. Dla (3x² − 5)/√x zamień pierwiastek na potęgę i rozpisz: 3x^(3/2) − 5x^(−1/2). Pochodna to (9/2)·x^(1/2) + (5/2)·x^(−3/2). Podobnie 1/√(x+1) traktuj jako (x+1)^(−1/2) i od razu użyj wzoru na potęgę z funkcją złożoną, zamiast liczyć pochodną ilorazu z jedynką w liczniku.

Rozbicie na sumę potęg działa tylko wtedy, gdy mianownik jest jednym składnikiem. Dla x/(x² + 1) takiego ruchu nie ma, bo nie rozbijesz ułamka po mianowniku. Tu zostaje iloraz: (1·(x² + 1) − x·2x)/(x² + 1)² = (1 − x²)/(x² + 1)².

Czynniki są niskiego stopnia i wielomianowe

Dla (x + 1)(x − 2) szybciej jest wymnożyć: x² − x − 2, pochodna 2x − 1. Reguła iloczynu da tu ten sam wynik, ale z dodatkowym krokiem porządkowania. Granica jest prosta: gdy oba czynniki są wielomianami i po wymnożeniu zostaje kilka wyrazów, wymnażaj. Gdy czynnik jest potęgą wysokiego stopnia, jak (x + 1)^10, nie wymnażaj w ogóle i zostaw go jako funkcję złożoną.

Gdy któryś czynnik jest funkcją przestępną, czyli e^x, sin x lub ln x, rozbicia na sumę nie ma, więc zostaje reguła iloczynu. Dla x²·e^x wynik to 2x·e^x + x²·e^x, a po wyłączeniu wspólnego czynnika x·e^x·(x + 2). Wyłączenie warto zrobić od razu, bo na tej postaci łatwo odczytać miejsca zerowe pochodnej.

Tożsamość trygonometryczna lub logarytmiczna skraca całą robotę

Jeśli widzisz sin x·cos x, zamień na (1/2)·sin 2x. Pochodna to cos 2x, bez żadnej reguły iloczynu. Podobnie sin²x przechodzi w (1 − cos 2x)/2, a pochodna wychodzi sin 2x. Przy logarytmach działa to samo: ln(x²·√(x + 1)) rozpisz jako 2·ln|x| + (1/2)·ln(x + 1) i dostaniesz 2/x + 1/(2(x + 1)). Z regułą złożenia policzysz to też, ale wynik będzie ułamkiem do uproszczenia. Zwróć uwagę na moduł przy ln|x|: równość ln(x²) = 2·ln|x| zachowuje dziedzinę, a zapis 2·ln x ją cicho zawęża do x > 0.

Zmienna jest w wykładniku i w podstawie albo czynników jest wiele: logarytmuj

Ani wzór na potęgę, ani wzór na wykładniczą nie obejmie funkcji typu f(x)^g(x), w której zmienna występuje w obu miejscach. Tu pozostaje pochodna logarytmiczna: logarytmujesz obie strony, różniczkujesz, a potem mnożysz przez wyjściową funkcję. Dla y = x^x (x > 0) mamy ln y = x·ln x, stąd y′/y = ln x + 1, więc y′ = x^x·(ln x + 1). Dla y = x^(sin x) wychodzi y′ = x^(sin x)·(cos x·ln x + sin x/x). To samo daje zapis f^g = e^(g·ln f), czyli przejście na podstawę e i zwykła reguła złożenia.

Pochodna logarytmiczna opłaca się też bez zmiennej w wykładniku, gdy jest dużo czynników. Dla y = x²(x + 1)³/(x − 2)⁴ iloraz i iloczyn byłyby koszmarem, a logarytmowanie daje od razu y′ = y·(2/x + 3/(x + 1) − 4/(x − 2)). Reguła praktyczna: trzy lub więcej czynników z potęgami albo zmienna w wykładniku, to logarytmuj; dwa czynniki wielomianowe lub mianownik jednomianowy, to rozbijaj; jeden czynnik przestępny, to zostaje klasyczny iloczyn.

Przy logarytmowaniu pilnuj dwóch rzeczy. Po pierwsze, ln y ma sens tylko dla y > 0, więc przy wyrażeniach mogących przyjmować wartości ujemne pracuj z ln|y|, bo jego pochodna to nadal y′/y. Po drugie, wynik w postaci y·(…/x …) ma pozorne osobliwości w miejscach zerowych y. W przykładzie powyżej wygląda, jakby w x = 0 pochodna nie istniała, tymczasem y ma tam podwójny pierwiastek i po wymnożeniu czynnik 2/x skraca się z x² w y. Pochodna w zerze istnieje i jest równa 0. Gdy końcowy wzór wygląda na osobliwy w punkcie, w którym funkcja jest gładka, wróć do postaci wyjściowej.

Tabela wyjątków: pochodna wzory a dziedzina funkcji

Standardowy wzór podaje pochodną w punktach, w których jest ona określona, a to nie zawsze jest cała dziedzina funkcji. Poniższe zestawienie pokazuje przypadki, w których dziedzina pochodnej jest węższa od dziedziny funkcji, albo odwrotnie: formalny wzór sugeruje kłopot, którego nie ma.

Funkcja	Dziedzina funkcji	Pochodna z wzoru	Dziedzina pochodnej	Co dzieje się w punkcie problemowym
√x	[0, ∞)	1/(2√x)	(0, ∞)	W zerze styczna jest pionowa, pochodna jednostronna jest nieskończona.
∛x	R	1/(3·∛(x²))	R∖{0}	Styczna pionowa, pochodna dąży do +∞ z obu stron.
∛(x²)	R	2/(3·∛x)	R∖{0}	Ostrze: z lewej strony pochodna dąży do −∞, z prawej do +∞.
|x|	R	x/|x|	R∖{0}	Załamanie: pochodne jednostronne w zerze to −1 i 1, granicy brak.
x|x|	R	2|x|	R	Reguła iloczynu w zerze nie ma zastosowania, bo |x| nie ma tam pochodnej, a mimo to pochodna istnieje i wynosi 0.
x^(3/2)	[0, ∞)	(3/2)·√x	[0, ∞), w zerze jednostronnie	Wzór a·x^(a−1) daje w zerze 0, bez osobliwości.
ln x oraz ln|x|	(0, ∞) oraz R∖{0}	1/x w obu przypadkach	tak samo jak funkcja	Ten sam wzór, dwie różne dziedziny; moduł przywraca lewą stronę osi.
arcsin x	[−1, 1]	1/√(1−x²)	(−1, 1)	Na końcach przedziału styczna jest pionowa.
(x²−1)/(x−1), czyli x + 1 po skróceniu	R∖{1}	1	R∖{1}	Skrócenie nie dodaje punktu x = 1 do dziedziny, więc pochodna nadal go pomija.

Najuczciwszy sposób, żeby zobaczyć, co dzieje się w zerze dla modułu, to wrócić do definicji. Dla f(x) = |x| iloraz różnicowy w zerze to |h|/h. Dla h dodatnich równa się 1, dla h ujemnych −1, więc granica przy h → 0 nie istnieje. Wzór x/|x| zgadza się z tym rachunkiem: to jest po prostu funkcja znaku, która poza zerem przyjmuje wartości −1 i 1, a w zerze nie jest określona. Ta sama pułapka siedzi w √(x²): przez regułę złożenia dostajesz x/√(x²), a to znów x/|x|, bo √(x²) = |x|.

Ciekawszy jest przypadek odwrotny, czyli x|x|. Podstawiając do iloczynu, wymagałbyś pochodnej |x| w zerze, której nie ma, więc reguła formalnie nie obowiązuje. Z definicji natomiast iloraz różnicowy to h|h|/h = |h|, który dąży do 0, więc f′(0) = 0. Zapis przedziałami (x² dla x ≥ 0 i −x² dla x < 0) daje 2|x| na całej osi. Wniosek: niespełnione założenie reguły oznacza brak gwarancji, a nie brak pochodnej, i dopiero definicja rozstrzyga sprawę.

Granice tego zestawienia są proste. Tabela nie obejmuje funkcji zadanych przedziałami, w których punkt sklejenia trzeba sprawdzić osobno (patrz pytania niżej), ani przypadków z parametrem, gdzie dziedzina pochodnej zależy od wartości wykładnika lub podstawy. Reguły z poprzedniej sekcji są też heurystykami, a nie twierdzeniami: pomagają skrócić rachunek, ale o tym, czy wynik jest poprawny w danym punkcie, decyduje dziedzina, nie wygoda.

Dwie pary wzorów, na których myli się najwięcej osób

Pochodne potęgi i wykładniczej wyglądają jak lustrzane odbicia, więc pomyłka jest niemal automatyczna. W x^a zmienna jest w podstawie, a wykładnik jest stałą, i wynik to a·x^(a−1). W a^x zmienna jest w wykładniku, podstawa jest stała, a wynik to a^x·ln a. Porównaj dwa konkretne zapisy: (x⁵)′ = 5x⁴, ale (5^x)′ = 5^x·ln 5. Dla stałych niewymiernych działa to tak samo: (x^π)′ = π·x^(π−1), a (π^x)′ = π^x·ln π.

Najczęstszy błąd to zapisanie (2^x)′ = x·2^(x−1), czyli przeniesienie schematu potęgi na wykładniczą. Wyłapiesz go bez żadnego rachunku: 2^x jest funkcją rosnącą, więc jej pochodna nigdzie nie może być ujemna ani zerowa, a wzór x·2^(x−1) w zerze daje 0 i dla ujemnych x jest ujemny. Poprawny wynik w x = 0 to ln 2, czyli około 0,693. Prosty test znaku i monotoniczności ratuje więcej zadań niż najstaranniejszy rachunek.

Przypadek x^x leży pomiędzy tymi wzorami i żadnym z nich nie da się go policzyć. To dokładnie ten moment, w którym przechodzisz na pochodną logarytmiczną opisaną wyżej. Ostrzeżenie: zapis (x^x)′ = x·x^(x−1) = x^x jest błędny i wygląda przekonująco. Poprawnie jest x^x·(ln x + 1), czyli o czynnik (ln x + 1) więcej.

Druga para dotyczy złożenia, w którym kolejność funkcji decyduje o wyniku. Weź sin²x i sin(x²). W pierwszym zewnętrzną funkcją jest podniesienie do kwadratu, a wewnętrzną sinus, więc (sin²x)′ = 2·sin x·cos x = sin 2x. W drugim zewnętrzny jest sinus, wewnętrzna jest potęga, więc (sin(x²))′ = cos(x²)·2x. Układ tych samych symboli, a pochodne nie mają ze sobą nic wspólnego.

Wyrażenie „sin x²” bywa czytane na dwa sposoby, a „sin²x” oznacza kwadrat sinusa, a nie sinus kwadratu. W zadaniu z niejednoznacznym zapisem dopisz nawiasy zanim zaczniesz liczyć: sin(x²) albo (sin x)². Najwięcej błędnych wyników bierze się z różniczkowania innej funkcji, niż autor zadania miał na myśli.

Najczęstsze pytania o pochodną funkcji i jej wzory

Czy funkcja ciągła zawsze ma pochodną?

Nie. Z różniczkowalności wynika ciągłość, ale odwrotnie już nie. Moduł jest ciągły na całej osi, a w zerze nie ma pochodnej. Istnieją nawet funkcje ciągłe w każdym punkcie i nigdzie nieróżniczkowalne, klasycznym przykładem jest funkcja Weierstrassa. Na zadaniach szkolnych i pierwszych semestrach studiów kłopot dotyczy zwykle pojedynczych punktów: zera dla pierwiastków i modułów oraz punktów sklejenia funkcji zadanych przedziałami.

Jak sprawdzić wynik pochodnej bez kalkulatora symbolicznego?

Policz symetryczny iloraz różnicowy w jednym wybranym punkcie, na przykład (f(x+h) − f(x−h))/(2h) dla małego h, i porównaj z wartością twojego wzoru. Dla sin(x²) w x = 1 i h = 0,01 wychodzi około 1,08, a wzór 2x·cos(x²) daje 2·cos 1, czyli też około 1,08. Jeśli wyniki różnią się wyraźnie, błąd jest w czynniku, najczęściej w pochodnej wewnętrznej albo w znaku. Wybieraj punkt, w którym funkcja jest gładka, i unikaj miejsc, gdzie może być załamanie.

Jak sprawdzić pochodną funkcji zadanej przedziałami w punkcie sklejenia?

Najpierw upewnij się, że funkcja jest w tym punkcie ciągła, bo bez tego pochodna nie istnieje. Potem porównaj pochodne jednostronne. Weź funkcję równą x² dla x < 1 i 2x − 1 dla x ≥ 1. Wartości w jedynce są równe (obie dają 1), a pochodne z obu stron wynoszą 2, więc funkcja jest tam różniczkowalna. Gdyby prawy człon wyglądał inaczej, na przykład 3x − 2, ciągłość by została, ale pochodne rozeszłyby się (2 i 3) i w punkcie byłoby załamanie. Równość granic pochodnych z obu stron wystarcza dla funkcji ciągłej, ale nie jest konieczna, więc gdy się nie zgadza, zejdź do definicji.

Czy zapis f^g = e^(g·ln f) zawsze pozwala policzyć pochodną potęgowo-wykładniczą?

Pod warunkiem że f > 0, bo tylko wtedy ln f jest określony. Wtedy wynik jest identyczny z pochodną logarytmiczną: (f^g)′ = f^g·(g′·ln f + g·f′/f). Jeśli f może być ujemne, wyrażenie f(x)^g(x) przestaje mieć jednoznaczny sens dla niecałkowitych wykładników, więc samo pytanie o pochodną trzeba zawęzić do tych x, dla których funkcja jest w ogóle określona. Dla wykładników całkowitych można pracować z modułem i wrócić do zwykłych wzorów na potęgę.

W procesie przygotowania tekstu korzystaliśmy z narzędzi generatywnej AI. Przed publikacją artykuł sprawdziła i zweryfikowała redakcja.